Lista 1A

Q1.

(entregar)

(a)

Prove que o inverso aditivo da propriedade (P3) é único.

Demonstração. Vamos supôr que existe um $i \neq -a$ que seja o inverso aditivo de $a$ . Então:

$$a + i = 0 \textrm{$+(-a)$}$$

$$(a+i) + (-a) = 0 + (-a) \textrm{(P4)}$$

$$(i+a) + (-a) = 0 + (-a) \textrm{(P1) e (P2)}$$

$$i+(a+(-a)) = -a \textrm{(P3) e (P2)}$$

$$i = -a$$

O que contradiz nossa hipótese e prova por contradição que o inverso aditivo da propriedade (P3) é único. $\qedsymbol$

(b)

Prove que 1 e os inversos multiplicativos são únicos em (P6) e (P7), respectivamente.

Demonstração. Vamos supôr que existe um $e \neq 1$ que multiplicado por $a$ resulte em $a$ . Então:

$$a . e = a \textrm{$. a^{-1}$}$$

$$(a.e).a^{-1} = a.a^{-1} \textrm{(P8)}$$

$$(e.a).a^{-1} = a.a^{-1} \textrm{(P5)}$$

$$e.(a.a^{-1}) = a.a^{-1} \textrm{(P7)}$$

$$e.1 = 1 \textrm{(P6)}$$

$$e = 1$$

O que contradiz nossa hipótese e prova por contradição que o elemento neutro da multiplicação da propriedade (P6) é único. $\qedsymbol$

Demonstração. Vamos supôr que existe um $i \neq a^{-1}$ que multiplicado por $a$ resulte em $1$ .

$$a.i = 1 \textrm{$. a^{-1}$}$$

$$(a.i).a^{-1} = 1.a^{-1} \textrm{(P8)}$$

$$(i.a).a^{-1} = 1.a^{-1} \textrm{(P5)}$$

$$i.(a.a^{-1}) = 1.a^{-1} \textrm{(P7) e (P8)}$$

$$i.1 = a^{-1}.1 \textrm{(P6)}$$

$$i = a^{-1}$$

O que contradiz nossa hipótese e prova por contradição que o elemento inverso da multiplicação da propriedade (P7) é único. $\qedsymbol$

Q2.

(entregar)
Determine todos os números tais que:

(a)

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} > 0$$

$$\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} > 0 \textrm{($\diamondsuit$)}$$

$$\frac{(1-x) + x}{x . (1-x)} > 0 \textrm{(P3) e (P2)}$$

$$\frac{1}{x . (1-x)} > 0 \textrm{(Def)}$$

$$1 . [x . (1-x)]^{-1} > 0 \textrm{(P6)}$$

$$[x . (1-x)]^{-1} > 0 \textrm{($\clubsuit$)}$$

$$x . (1-x) > 0 \textrm{($\spadesuit$)}$$

$$[ x > 0 \wedge (1-x) > 0 ] \vee [ x < 0 \wedge (1-x) < 0 ]$$

No primeiro caso,

$$x > 0$$

$$1-x > 0 +(-1)$$

$$-x > -1 .(-1)$$

$$x < 1$$

Então:

$$x > 0 \wedge x < 1$$

$$\therefore 0 < x < 1$$

No segundo caso,

$$x < 0$$

$$1-x < 0 +(-1)$$

$$-x < -1 .(-1)$$

$$x > 1$$

Porém,

$$\nexists x : (x < 0 \wedge x > 1)$$

$$\therefore \emptyset$$

A união dos dois casos nos leva a resposta:

$$\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$$ (48)

Prova dos Lemas

( $\diamondsuit$ )

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$$ , $bd \neq 0$

Demonstração.

$$\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} =^{\textrm{(Def)}} a . b^{-1} + c . d^{-1}$$

$$=^{\textrm{(P6)}} 1 . (a . b^{-1} + c . d^{-1})$$

$$=^{\textrm{(P7)}} (b . b^{-1}) (a . b^{-1} + c . d^{-1})$$

$$=^{\textrm{(P9)}} (b . b^{-1}) (a . b^{-1}) + (b . b^{-1}) (c . d^{-1})$$

$$=^{\textrm{(P5) e (P8)}} a . (b.b^{-1}).b^{-1} + b.c.b^{-1}.d^{-1}$$

$$=^{\textrm{(P6) e (P7)}} 1 . (a . b^{-1} + b.c.b^{-1}.d^{-1})$$

$$=^{\textrm{(P7)}} (d.d^{-1}) . (a . b^{-1} + b.c.b^{-1}.d^{-1})$$

$$=^{\textrm{(P9) e (P8)}} a . d . b^{-1} . d^{-1} + b . c . b^{-1} . d^{-1} . d . d^{-1}$$

$$=^{\textrm{(P7) e (P6)}} a . d . b^{-1} . d^{-1} + b . c . b^{-1} . d^{-1}$$

$$=^{\textrm{(P9)}} b^{-1} . d^{-1} (a.d+b.c)$$

$$=^{\textrm{($\heartsuit$)}} (b . d)^{-1} (a.d+b.c)$$

$$=^{\textrm{(Def)}} \frac{ad+bc}{bd}$$

$\qedsymbol$

($\clubsuit$ )

$a^{-1} > 0 \Leftrightarrow a > 0$

( $\spadesuit$ )

$(a.b) > 0 \Leftrightarrow (a, b > 0 \vee a, b < 0)$

( $\heartsuit$ )

$a^{-1} . b^{-1} = (a . b)^{-1}$

(b)

$\vert x-1\vert + \vert x+2\vert > 1$

(c)

$\vert x-1\vert + \vert x+1\vert < 1$