Operações com funções reais de uma variável real

Def 8   Sejam:

$$f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ (31)

$$g: B \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ (32)

$$A \cap B \neq \emptyset$$ (33)

Definimos:

(i)

função soma de $f$ e $g$ :

$$(f+g)(x) := f(x) + g(x) , \forall x \in A \cup B$$ (34)

(ii)

função diferença de $f$ e $g$ :

$$(f-g)(x) := f(x) - g(x) , \forall x \in A \cup B$$ (35)

(iii)

função produto de $f$ e $g$ :

$$(f.g)(x) := f(x) . g(x) , \forall x \in A \cup B$$ (36)

(iv)

função quociente de $f$ e $g$ :

$$\displaystyle (\frac{f}{g})(x) := \frac{f(x)}{g(x)} , \forall x \in A \cup B : g(x) \neq 0$$ (37)

(v)

produto de uma constante por uma função $f$ :

$$(\lambda f)(x) := \lambda . f(x), \forall x \in A \wedge \lambda \in \mathbb{R}$$ (38)

(vi)

função valor absoluto de $f$ :

$$\vert f\vert(x) := \vert f(x)\vert, \forall x \in A$$ (39)

Def 9   Seja:

$$f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ (40)

$$B \subset A$$ (41)

(i)

Dizemos que $f$ é não-decrescente em $B$ quando $\forall x_{1}, x_{2} \in B : x_{1} < x_{2} : f(x_{1}) \leq f(x_{2})$

(ii)

Dizemos que $f$ é estritamente crescente em $B$ quando $\forall x_{1}, x_{2} \in B : x_{1} < x_{2} : f(x_{1}) < f(x_{2})$

(iii)

Dizemos que $f$ é não-crescente em $B$ quando $\forall x_{1}, x_{2} \in B : x_{1} < x_{2} : f(x_{1}) \geq f(x_{2})$

(iv)

Dizemos que $f$ é estritamente decrescente em $B$ quando $\forall x_{1}, x_{2} \in B : x_{1} < x_{2} : f(x_{1}) > f(x_{2})$

Em qualquer um dos casos dizemos que $f$ é monotônica em $B$ .

Def 10  

Seja:

$$f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ (42)

(i)

$f$ é função majorada se $Im(f)$ é conjunto majorado, isto é:

$$\exists M_{1} \in \mathbb{R} : f(x) \leq M_{1}, \forall x \in A$$ (43)

$M_{1}$ é chamado cota superior

(ii)

$f$ é função minorada se $Im(f)$ é conjunto minorado, isto é:

$$\exists M_{2} \in \mathbb{R} : f(x) \geq M_{2}, \forall x \in A$$ (44)

$M_{2}$ é chamado cota inferior

(iii)

Se $f$ é majorada e minorada dizemos que $f$ é uma função limitada.

Teor. 3   Seja:

$$f: A \rightarrow \mathbb{R}$$ (45)

$$g: B \rightarrow \mathbb{R}$$ (46)

$$h: C \rightarrow \mathbb{R}$$ (47)

Então:

(i)

$(f+g)+h = f+(g+h)$

(ii)

$f+g = g+f$

(iii)

$(f_{o}g)_{o}h = f_{o}(g_{o}h)$

Demonstração.

$$Dom(f_{o}g) = {x \in B : g(x) \in A}$$

$$Dom(g_{o}h) = {x \in C : h(x) \in B}$$

$$Dom((f_{o}g)_{o}h) = {x \in C : h(x) \in Dom(f_{o}g) }$$

$$= {x \in C : h(x) \in B : g(h(x)) \in A}$$

$$Dom(f_{o}(g_{o}h)) = {x \in C : h(x) \in B : (g_{o}h)(x) \in A}$$

$$\therefore Dom((f_{o}g)_{o}h) = Dom(f_{o}(g_{o}h))$$

Seja $D = Dom((f_{o}g)_{o}h) = Dom(f_{o}(g_{o}h))$

$\bullet$

$\forall x \in D, [(f_{o}g)_{o}h](x) = (f_{o}g)(h(x)) = f(g(h(x)))$

$\bullet$

$\forall x \in D, [f_{o}(g_{o}h)](x) = f(g_{o}h(x)) = f(g(h(x)))$

$\qedsymbol$

(iv)

$(fg)h = f(gh)$

(v)

$fg = gf$