Funções

Def 1   O par ordenado de $a$ e $b$ é $(a, b)$ , que representa o conjunto:

$$\displaystyle (a, b) := \{ \{a\}, \{a, b\} \}$$ (1)

$a$ é denominado primeiro elemento de $(a, b)$ e $b$ é o segundo elemento.

Em nosso caso, $a, b \in \mathbb{R}$

Teor. 1   Sejam $(a, b)$ e $(c, d)$ pares ordenados, então:

$$(a, b) = (c, d) \Leftrightarrow a = c \textrm{ e } b = d$$ (2)

Demonstração. Supondo $a = c$ e $b = d$ , $\{a\} = \{c\}$ e ${a, b} = {c, d}$ , logo $(a, b) = (c, d)$ , concluindo a prova que $a = c \textrm{ e } b = d \Rightarrow (a, b) = (c, d)$

Vamos dividir a prova $(a, b) = (c, d) \Rightarrow a = c \textrm{ e } b = d$ em casos.

(i)

$a = b$

Neste caso $(a, b) = \{ \{a\}, \{a, b\} \} = \{ \{a\}, \{a, a\} \} = \{ \{a\} \}$ . Logo, $\{ \{c\}, \{c, d\}\} = \{\{a\}\} \}$ e $\{a\} = \{c\} = \{c, d\}$ . Sendo assim, $a = b = c = d$

(ii)

$a \neq b$

A partir do lema ($\star$ )

$$\{ \{a\}, \{a, b\} \} = \{ \{c\}, \{c, d\} \}$$ (3)

Temos que $\{c\} = \{a\}$ ou $\{c\} = \{a, b\}$ . Como $a \neq b$ , devemos ter $\{c\} = \{a\}$ e logo $c = a$ .

Novamente por $\star$ temos $\{a, b\} = \{c\}$ ou ${a, b} = {c, d}$ . Se $\{a, b\} = \{c\}$ , $a = b = c$ , o que contradiz a hipótese inicial. Logo ${a, b} = {c, d}$ .

$b = c$ ou $b = d$ . Se $b = c$ , como $a = c$ , temos $a = b$ , o que não é possível porque contradiz a hipótese inicial. Logo, $b = d$ .

$\qedsymbol$

Def 2   Se $X$ e $Y$ são conjuntos, o produto cartesiano de $X$ por $Y$ , denotado $X \times Y$ é o conjunto:

$$X \times Y := \{ (x, y) : x \in X, y \in Y \}$$ (4)

Def 3   Sejam $X$ e $Y$ conjuntos, uma função de $X$ em $Y$ é um subconjunto $f$ de $X \times Y$ que satisfaz duas propriedades:

(i)

Se $(x, y)$ e $(x, y')$ , então $y = y'$

(ii)

Se $x \in X$ , então $(x, y) \in f$ para algum $y \in Y$

Notação: $f: X \rightarrow Y$ ou $$X \rightarrow^{f} Y$$

Def 4   Se $f$ é uma função de $X$ em $Y$ e $A \subset X$ e $B \subset Y$ , então:

(i)

$X$ é domínio de $f$ , $Y$ é contradomínio de $f$ . O domínio de $f$ é denotado por $Dom(f)$

(ii)

Se $(x, y) \in f$ , escrevemos $y = f(x)$ e denominamos $y$ a imagem de $x$

(iii)

A imagem de $f$ (denotada $Im(f)$ ) é o conjunto ${f(x) : x \in X}$

(iv)

A imagem de $A$ sob $f$ é o conjunto $f(A) = {f(x) : x \in A}$

(v)

A imagem inversa de $B$ sob $f$ é o conjunto $f^{-1}(B) = {x \in X: f(x) \in B}$

(vi)

$f$ é sobrejetiva (ou sobrejetora) se $f(X) = Y$

(vii)

$f$ é injetora (ou injetiva) se $f(x) = f(x')$ implica que $x = x'$ para $x, x' \in X$

(viii)

$f$ é bijetora (ou bijetiva) se for injetora e sobrejetora

Def 5   Se $f$ é uma função injetora de $X$ em $Y$ podemos definir a função inversa de $f$ denotada por $f^{-1}$ da imagem de $f$ sob $X$ pela regra:

$$(y, x) \in f^{-1} \Leftrightarrow (x, y) \in f$$ (5)

Observação: $f^{-1}$ é definida somente se $f$ é injetora. Já a imagem inversa ($f^{-1}(B)$ ) está definida para uma função $f$ arbitrária e $B \subset Y$ qualquer.

Def 6   Sejam $g$ e $x$ as funções:

$$g: X \rightarrow Y$$ (6)

$$f: Y \rightarrow Z$$ (7)

Definimos a composição

$$f_{o}g: X \rightarrow Z$$ (8)

da seguinte forma:

$$(f_{o}g)(x) = f(g(x)), \forall x \in X$$ (9)

Def 7   Seja:

$$f: X \rightarrow Y$$ (10)

$$A \subset X$$ (11)

Definimos $f\vert _{A} := { (x, y) \in f: x \in A}$ a restrição de $f$ ao conjunto $A$ . Neste contexto, $f$ é uma extensão de $f\vert _{A}$ para $X$ .

Teor. 2  

$$f: X \rightarrow Y$$ (12)

$$A_{1}, A_{2} \subset X$$ (13)

$$B_{1}, B_{2} \subset Y$$ (14)

(i)

$f(A_{1} \cup A_{2}) = f(A_{1}) \cup f(A_{2})$

Demonstração.

$\bullet$

$y \in f(A_{1} \cup A_{2})$

$$y \in f(A_{1} \cup A_{2}) \Rightarrow \exists x \in A_{1} \cup A_{2} : y = f(x)$$ (15)

$$\Rightarrow x \in A_{1} \textrm{ ou } x \in A_{2}$$ (16)

$$\Rightarrow y \in f(A_{1}) \textrm{ ou } y \in f(A_{2})$$ (17)

$$\Rightarrow y \in f(A_{1}) \cup f(A_{2})$$ (18)

$$\therefore f(A_{1} \cup A_{2}) \subset f(A_{1}) \cup f(A_{2})$$ (19)

$\bullet$

$y \in f(A_{1}) \cup f(A_{2})$

$$y \in f(A_{1}) \cup f(A_{2}) \Rightarrow y \in f(A_{1}) \textrm{ ou } y \in f(A_{2})$$ (20)

$$\Rightarrow \exists x \in A_{1} : y = f(x) \textrm{ ou } \exists x^{\star} \in A_{2} : y = f(x^{\star})$$ (21)

$$\Rightarrow \exists w \in A_{1} \cup A_{2} : y \in f(w)$$ (22)

$$\Rightarrow y \in f(A_{1} \cup A_{2}$$ (23)

$$\therefore f(A_{1}) \cup f(A_{2}) \subset f(A_{1} \cup A_{2})$$ (24)

$\bullet$

$\Rightarrow f(A_{1} \cup A_{2}) = f(A_{1}) \cup f(A_{2})$

$\qedsymbol$

(ii)

$f^{-1}(B_{1} \cup B_{2}) = f^{-1}(B_{1}) \cup f^{-1}(B_{2})$

Demonstração.

$$x \in f^{-1}(B_{1} \cup B_{2})$$ (25)

$$\Rightarrow f(x) \in B_{1} \cup B_{2}$$ (26)

$$\Rightarrow f(x) \in B_{1} \textrm{ ou } f_{x} \in B_{2}$$ (27)

$$\Rightarrow x \in f^{-1}(B_{1}) \textrm{ ou } x \in f^{-1}(B_{2})$$ (28)

$$\Rightarrow x \in f^{-1}(B_{1}) \cup f^{-1}(B_{2})$$ (29)

$$\therefore f^{-1}(B_{1} \cup B_{2}) \subset f^{-1}(B_{1}) \cup f^{-1}(B_{2})$$ (30)

Observe que a prova da outra implicação funciona revertendo o sentido das implicações.

$\Rightarrow f^{-1}(B_{1} \cup B_{2}) = f^{-1}(B_{1}) \cup f^{-1}(B_{2})$ $\qedsymbol$

(iii)

$f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}) = f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2})$

(iv)

Se $E \subset Y$ então $f^{-1}(E^{c}) = (f^{-1}(E))^{c}$ , ou seja, $f^{-1}(Y-E) = X-f^{-1}(E)$

(v)

Dado $D \subset X$ , $D \subset f^{-1}(f(D))$

(vi)

$f(f^{-1}(E)) \subset E$ se $E \subset Y$